二分查找法计算一个数的平方根

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如何使用二分查找法求 8 的平方根？保留 6 位小数。

假设只精确到整数部分

如果我们只需要计算整数部分的话，那很好实现，假设要开平方的数为 value，依次二分，直到找到某一个整数的平方小于等于 value，然后这个整数加1的平方大于 value，那这个数就是开平方结果的整数部分了。

下面为 PHP 实现代码：

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function calcInteger($value, $low, $high)
{
    $mid = round(($low + $high) / 2);
    $mid2 = $mid * $mid;

    if ($mid2 > $value) {
        if (($mid - 1) * ($mid - 1) <= $value) return $mid - 1;
        return calcInteger($value, 0, $mid);
    } else if ($mid2 < $value) {
        if (($mid + 1) * ($mid + 1) >= $value) return $mid;
        return calcInteger($value, $mid, $high);
    } else {
        return $mid;
    }
}

var_dump(calcInteger(8, 0, 8)); // 2

实现思路：

  1. 如果二分的中点的平方大于 value，说明整数部分肯定位于中点之前。这个时候需要特别注意的是，不能直接 calcInteger($value, 0, $mid - 1) 这样使用 $mid - 1 作为下一次二分查找区间的上限，因为如果开平方结果带有小数的情况下，最终会陷入死循环（具体表现为，不断地在两个区间之间循环，比如 [0, 3], [2, 3]）。
  2. 如果位于中点之前，那么先判断 中点-1 的平方是否不大于 value，那说明这个 中点-1 就是开平方结果的整数部分了
  3. 中点的平方小于 value 的情况也类似
  4. 如果中点的平方恰好等于 value，那这个中点就是整数部分了。

再假设一下，精确到 1 位小数

这也好办，只要我们做平方操作的时候精确到 1 位小数就行了。如果中位数的平方大于 value，这个时候就计算一下 $mid - 0.1 的平方，跟 value 做比较。我们在这种情况下，假设下一个比 $mid 小的数字为 $mid - 0.1。

将一个整数之间的区间再细分成十份就很好理解了。

下面为 PHP 实现代码：

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function calcInteger($value, $low, $high)
{
    $mid = round(($low + $high) / 2, 1);
    $mid2 = $mid * $mid;

    if ($mid2 > $value) {
        if (($mid - 0.1) * ($mid - 0.1) <= $value) return $mid - 0.1;
        return calcInteger($value, 0, $mid);
    } else if ($mid2 < $value) {
        if (($mid + 0.1) * ($mid + 0.1) >= $value) return $mid;
        return calcInteger($value, $mid, $high);
    } else {
        return $mid;
    }
}

var_dump(calcInteger(8, 0, 8)); // 2.8

回到正题

按上一小节说的，我们如果要保留 6 位小数，则可以将原来一个整数的区间想象成有 1000000（10的6次方） 个小区间，比较的过程加减的粒度就是 10^-6 了。

下面为 PHP 实现代码：

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// 求 3 的平方根，保留 6 位小数
$value = 8;
// 2.8284271247462

function calc($value, $low, $high, $float)
{
    $mid = round(($low + $high) / 2, $float);
    $mid2 = $mid * $mid;

    // 依次确定每一位小数
    $v = 1 / pow(10, $float);

    if ($mid2 > $value) {
        if (($mid - $v) * ($mid - $v) <= $value) return $mid - $v;
        return calc($value, 0, $mid, $float);
    } else if ($mid2 < $value) {
        if (($mid + $v) * ($mid + $v) >= $value) return $mid;
        return calc($value, $mid, $high, $float);
    } else {
        return $mid;
    }
}

var_dump(calc($value, 0, $value, 6)); // 2.828427

非递归实现

非递归实现的方式也挺简单的，只要在 $mid * $mid > $value 和 $mid * $mid < $value 两种情况下，分别修改一下区间的上限、下限即可。

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// 求 8 的平方根，保留 6 位小数
$value = 8;
// 2.8284271247462

function calc($value, $low, $high, $float)
{
    // 依次确定每一位小数
    $v = 1 / pow(10, $float);

    while (true) {
        $mid = round(($low + $high) / 2, $float);
        $mid2 = $mid * $mid;

        if ($mid2 > $value) {
            if (($mid - $v) * ($mid - $v) <= $value) return $mid - $v;
            $high = $mid;
        } else if ($mid2 < $value) {
            if (($mid + $v) * ($mid + $v) >= $value) return $mid;
            $low = $mid;
        } else {
            return $mid;
        }
    }
}

var_dump(calc($value, 0, $value, 6)); // 2.828427

总结

本文求平方根的思想在于，将原来一个整数的区间拆分成多个小的区间，然后在所有的这些小区间里面依次二分找到最终合适的那个数。